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Modellieren mit Parabeln – Rookie

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ProblemVideoEinstiegÜbungKontrolleNachweis
🎯 Das kannst du danach: Ich lese aus einer Sachsituation Scheitel, Nullstellen und Anfangswert heraus und beantworte Fragen, indem ich Werte in eine gegebene Parabelgleichung einsetze.

Das Basiswissen

Viele reale Vorgänge haben die Form einer Parabel: ein geworfener Ball, ein Wasserstrahl, ein Brückenbogen. Modellieren heißt: die Situation in eine Gleichung übersetzen, rechnen und das Ergebnis wieder auf die Situation zurückdeuten.

Übersetzung Situation ↔ Parabel:
•  Scheitel S(d | e) = höchster Punkt (Ball, Wasserstrahl) oder tiefster Punkt (Hängebrücke)
•  Nullstellen (y = 0) = Auftreffpunkt am Boden, Weite, Spannweite
•  y-Achsenabschnitt (x = 0) = Starthöhe / Anfangswert
•  „Wie hoch bei x = …?“ = x einsetzen
•  „Wo ist die Höhe y = …?“ = Gleichung lösen

Tipp: Lege das Koordinatensystem geschickt – oft so, dass der Scheitel auf der y-Achse liegt (d = 0). Dann genügt y = a·x² + e.

1Ball: Höhe ablesen

Ein Ball fliegt nach y = −0,5·(x − 4)² + 8 (x, y in m).

a)  Höhe bei x = 2?    b)  Höhe bei x = 4?    c)  Höhe bei x = 6?

Selbstcheck: Höhe bei x = 2 (in m)?

2Ball: höchster Punkt und Weite

Zum selben Ball y = −0,5·(x − 4)² + 8:

  • Wie hoch fliegt der Ball maximal? Wo (bei welchem x)?
  • Bei welchem x trifft er den Boden (y = 0)?

Selbstcheck: Maximale Höhe (in m)?

3Brückenbogen

Ein Brückenbogen wird durch y = −0,25·x² + 4 beschrieben (Ursprung in der Mitte, Maße in m).

  • Wie hoch ist der Bogen in der Mitte?
  • Wie breit ist der Bogen am Boden (y = 0)?

Selbstcheck: Höhe in der Mitte (in m)?

4Buchaufgaben

Bearbeite diese Aufgaben in deinem Buch:

  • Buch 9 · S. 117 · Nr. 1
  • Buch 9 · S. 117 · Nr. 2
  • Buch 9 · S. 118 · Nr. 4
📖 Lösungen anzeigen

1) a) −0,5·4 + 8 = 6 m   b) 0 + 8 = 8 m (Scheitel)   c) −0,5·4 + 8 = 6 m

2) Maximum = Scheitel S(4 | 8), also 8 m bei x = 4. Boden: 0 = −0,5·(x − 4)² + 8 → (x − 4)² = 16 → x = 0 oder x = 8. Auftreffpunkt bei x = 8 m.

3) Mitte (x = 0): y = 4 m. Boden: 0 = −0,25x² + 4 → x² = 16 → x = ±4, Breite = 8 m.

Buchaufgaben: Lösungen im Buch [Seitenzahl prüfen].

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