Modellieren mit Parabeln – Problem
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Ein Ball wird geworfen und fliegt in einer Parabelbahn. Du kennst den höchsten Punkt und den Absprungpunkt. Wie weit fliegt der Ball – und wie rechnest du das aus?
1Die Situation übersetzen
Ein Ball wird vom Boden geworfen. Sein höchster Punkt liegt 4,5 m hoch, und zwar 3 m vom Absprung entfernt. Wir legen das Koordinatensystem so, dass der Absprung im Ursprung liegt.
- Was ist der Scheitelpunkt der Wurfparabel?
- Welchen Punkt kennst du außerdem? (Denk an den Absprung.)
Selbstcheck: Wie lautet der y-Wert des Scheitels (die maximale Höhe in m)?
2Die Gleichung aufstellen
Setze den Scheitel in y = a·(x − d)² + e ein und bestimme a mit dem Absprungpunkt (0 | 0).
- Wie lautet die Gleichung mit noch unbekanntem a?
- Setze (0 | 0) ein und berechne a.
Selbstcheck: Welchen Wert hat a?
3Rechnen und zurückdeuten
Jetzt die eigentliche Frage: Wie weit fliegt der Ball, bis er wieder auf dem Boden (y = 0) ist?
- Löse die Gleichung y = 0.
- Welche der beiden Lösungen ist der Auftreffpunkt?
- Was bedeutet dein Ergebnis in der Situation?
Selbstcheck: Bei welchem x (in m) trifft der Ball wieder auf den Boden?
📖 Lösungen anzeigen
1) Übersetzen: Der höchste Punkt ist der Scheitel: S(3 | 4,5). Außerdem kennst du den Absprung im Ursprung: P(0 | 0).
2) Gleichung aufstellen: y = a·(x − 3)² + 4,5. Punkt (0 | 0) einsetzen: 0 = a·9 + 4,5 → a = −0,5. Also y = −0,5·(x − 3)² + 4,5.
3) Rechnen und zurückdeuten: y = 0 setzen: −0,5·(x − 3)² + 4,5 = 0 → (x − 3)² = 9 → x = 0 oder x = 6. x = 0 ist der Absprung, also ist x = 6 der Auftreffpunkt. Der Ball fliegt 6 m weit.
Das ist der ganze Modellierkreislauf: Situation → Gleichung → rechnen → zurückdeuten.