Von der Scheitelform zur Normalform – Problem
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Zwei Schüler schreiben dieselbe Parabel unterschiedlich auf. Wer hat recht? Finde heraus, wie die beiden Schreibweisen zusammenhängen.
Bewege die Regler und vergleiche die Scheitelform (Werte eingesetzt) mit der Normalform darunter. Beides ist dieselbe Parabel.
1Wer hat recht?
Mia schreibt y = (x − 2)² + 1, Ben schreibt y = x² − 4x + 5.
- Berechne für beide Gleichungen die y-Werte bei x = 0, x = 1 und x = 3.
- Was stellst du fest?
- Wer von beiden hat recht?
2Am Plotter prüfen
Stelle am Plotter d = 2 und e = 1 ein – das ist Mias Gleichung.
- Welche Normalform zeigt der Plotter unten an?
- Stimmt sie mit Bens Gleichung überein?
Selbstcheck: y-Wert von y = (x − 2)² + 1 bei x = 0?
3Den Zusammenhang finden
Stelle nacheinander ein und lies b und c aus der Normalform ab:
d = 1, e = 0 d = 2, e = 0 d = 3, e = 0 d = 2, e = 4
- Wie hängt b mit d zusammen?
- Prüfe deine Regel mit d = −2, e = 1.
Selbstcheck: Welchen Wert hat b, wenn d = 3 ist?
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1) Wer hat recht? Bei x = 0: Mia 4 + 1 = 5, Ben 0 − 0 + 5 = 5. Bei x = 1: beide 2. Bei x = 3: beide 2. Beide erhalten immer denselben y-Wert – es ist dieselbe Parabel. Beide haben recht, sie schreiben sie nur anders.
2) Am Plotter: Für d = 2, e = 1 zeigt der Plotter die Normalform y = x² − 4x + 5 – genau Bens Gleichung.
3) Der Zusammenhang: d = 1 → b = −2; d = 2 → b = −4; d = 3 → b = −6. Es gilt b = −2d. Ben ist Mias Gleichung – nur mit der binomischen Formel ausmultipliziert: (x − 2)² + 1 = x² − 4x + 4 + 1 = x² − 4x + 5.