Die Scheitelform – Problem
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Eine einzige Formel beschreibt jede Parabel, die wir brauchen – die Scheitelform:
y = (x − d)² + e mit S(d | e)
Finde mit dem Plotter heraus, was d und e bewirken – und wie daraus die einfachste aller Parabeln wird: y = x².
Probiere aus: Bewege die Regler für d und e und beobachte den Scheitelpunkt.
1Zurück zur einfachsten Parabel
Gegeben ist die Scheitelform y = (x − d)² + e mit dem Scheitelpunkt S(d | e).
- Welche Werte müssen d und e haben, damit daraus y = x² wird?
- Stelle diese Werte am Plotter ein.
- Schreibe den Scheitelpunkt auf, den du abliest.
Selbstcheck: Welchen Wert hat e, wenn y = x² entsteht?
2Der Scheitel wandert
Stelle nacheinander ein und notiere jedes Mal Gleichung und Scheitelpunkt in einer Tabelle:
d = 3, e = 0 d = 0, e = 2 d = 2, e = −3 d = −2, e = 1
- Welcher Regler bewegt die Parabel waagerecht, welcher senkrecht?
- Wie hängen d, e und der Scheitelpunkt S zusammen?
3Ein Schritt nach rechts
Stelle d = 0 und e = 0 ein. Gehe vom Scheitelpunkt aus nach rechts und lies ab, wie weit du nach oben gehen musst, um wieder auf der Parabel zu sein:
- 1 nach rechts → … nach oben
- 2 nach rechts → … nach oben
- 3 nach rechts → … nach oben
- und 1 nach links → …
- Was fällt dir auf? Beschreibe die Parabel mit eigenen Worten.
- Verschiebe jetzt den Scheitel irgendwohin. Gilt deine Beobachtung immer noch?
Selbstcheck: 2 nach rechts – wie weit nach oben?
4Zielspiel
Stelle die Regler so ein, dass der Scheitelpunkt genau auf dem angegebenen Punkt liegt. Schreibe jedes Mal die Gleichung auf:
a) S(3 | −2) b) S(−1 | 4) c) S(0 | −3)
Selbstcheck: Wie lautet d bei S(3 | −2)?
5Was geht nicht?
Versuche, die Parabel mit d oder e schmaler oder breiter zu machen.
- Gelingt es dir?
- Was verändern d und e – und was verändern sie nicht?
- Vermute: Was müsste man an der Gleichung ändern, um die Form zu ändern?
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1) Zurück zur einfachsten Parabel: Es muss d = 0 und e = 0 sein. Dann wird aus y = (x − d)² + e die Gleichung y = (x − 0)² + 0 = x². Der Scheitelpunkt ist S(0 | 0). Die Normalparabel ist also kein Sonderfall mit eigener Formel, sondern einfach die Scheitelform, bei der nicht verschoben wird.
2) Der Scheitel wandert:
- d = 3, e = 0 → y = (x − 3)² mit S(3 | 0)
- d = 0, e = 2 → y = x² + 2 mit S(0 | 2)
- d = 2, e = −3 → y = (x − 2)² − 3 mit S(2 | −3)
- d = −2, e = 1 → y = (x + 2)² + 1 mit S(−2 | 1)
d bewegt die Parabel waagerecht, e senkrecht. Der Scheitelpunkt liegt immer genau bei S(d | e) – die beiden Zahlen aus der Gleichung sind seine Koordinaten.
Zum Vorzeichen: (x − (−2)) schreibt man kurz (x + 2). Ein Plus in der Klammer bedeutet also eine Verschiebung nach links.
3) Ein Schritt nach rechts: 1 nach rechts → 1 nach oben, 2 nach rechts → 4 nach oben, 3 nach rechts → 9 nach oben. Nach links ist es genau gleich: 1 nach links → ebenfalls 1 nach oben.
Das sind die Quadratzahlen 1, 4, 9 – und die Parabel ist symmetrisch: links und rechts vom Scheitel sieht sie gleich aus. Das gilt immer, egal wohin du den Scheitel schiebst. Mit diesem Trick kannst du jede Parabel zeichnen, auch ohne Schablone.
4) Zielspiel: a) d = 3, e = −2 → y = (x − 3)² − 2 · b) d = −1, e = 4 → y = (x + 1)² + 4 · c) d = 0, e = −3 → y = x² − 3
5) Was geht nicht? Es gelingt nicht. d und e verändern nur die Lage der Parabel, niemals ihre Form – alle Parabeln bleiben deckungsgleich mit y = x². Um die Form zu ändern, bräuchte man eine Zahl vor der Klammer. Die lernst du später kennen.