Quadratische Ergänzung – Problem
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ProblemVideoEinstiegÜbungKontrolleNachweis
Anton hat die Gleichung
x² + 6x = 135
gelöst. Er hat irgendwie eine binomische Formel gebildet und auf der anderen Seite plötzlich 144:
(x + 3)² = 144
1. Kannst du erklären, was er gemacht hat.
2. Versuche die Gleichung nach x aufzulösen.
Versuche es zuerst selbst. Kommst du nicht weiter, nutze die gestuften Hilfen – und danach die Lösung.
1Hilfe 1 · kleiner Anstoß
Rechne (x + 3)² mit der binomischen Formel aus und vergleiche mit x² + 6x. Was fehlt zum vollständigen Binom?
2Hilfe 2 · konkreter
Es fehlt (6/2)² = 9. Anton hat auf beiden Seiten 9 addiert: x² + 6x + 9 = 135 + 9. Links wird daraus (x + 3)², rechts 144.
3Hilfe 3 · fast die Lösung
Jetzt (x + 3)² = 144. Zieh die Wurzel – denk an beide Vorzeichen: x + 3 = +12 und x + 3 = −12.
✓ Lösung anzeigen
1. Was hat Anton gemacht? Er hat quadratisch ergänzt: (6/2)² = 9 auf beiden Seiten addiert. x² + 6x + 9 = 135 + 9. Links ist das ein Binom: (x + 3)² = 144.
2. Nach x auflösen: (x + 3)² = 144 | √ → x + 3 = ±12.
x + 3 = 12 → x₁ = 9 · x + 3 = −12 → x₂ = −15.
Lösungen: x₁ = 9; x₂ = −15.
2. Nach x auflösen: (x + 3)² = 144 | √ → x + 3 = ±12.
x + 3 = 12 → x₁ = 9 · x + 3 = −12 → x₂ = −15.
Lösungen: x₁ = 9; x₂ = −15.