Funktion bestimmen: b und c – Street Legend

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🎯 Das kannst du danach: Ich stelle das lineare Gleichungssystem selbständig auf, löse es sicher und überprüfe die gefundene Gleichung mit einem der Punkte.

Das Basiswissen

Fehlen zwei Werte (b und c), brauchst du zwei Punkte – und damit ein lineares Gleichungssystem. Das kennst du schon von den Geraden.

1. Beide Punkte in y = x² + bx + c einsetzen → zwei Gleichungen
2. Das Gleichungssystem lösen (Additions- oder Einsetzungsverfahren)
3. b und c in die Gleichung einsetzen
4. Probe mit einem der Punkte

Beispiel: P(7 | 10) und Q(2 | 5)

(1) 10 = 49 + 7b + c → 7b + c = −39
(2) 5 = 4 + 2b + c → 2b + c = 1
(1) − (2): 5b = −40 → b = −8
in (2): −16 + c = 1 → c = 17
Also y = x² − 8x + 17

1Buchaufgaben

Bearbeite diese Aufgaben in deinem Buch:

Buch 10 · S. 125 · Nr. 5
Buch 10 · S. 129 · Nr. 17
Buch 10 · S. 131 · Nr. 25

2Zwei Wege vergleichen

Gegeben sind P(1 | 3) und Q(5 | 3).

Bestimme die Gleichung über ein Gleichungssystem.
Bestimme sie alternativ über die Symmetrieachse.
Welcher Weg ist hier schneller? Warum?

Selbstcheck: Wie lautet b?

3Selbst konstruieren

Gib zwei Punkte an, sodass die zugehörige verschobene Normalparabel ihren Scheitel bei S(2 | −1) hat. Überprüfe mit dem Gleichungssystem.

4Zwei Wege & konstruieren

Bestimme y = x² + bx + c durch (−1 | 0) und (2 | 0).

a) einmal über die Produktform, einmal über das LGS.
b) Vergleiche den Aufwand.
c) Konstruiere selbst eine Parabel durch drei gegebene Punkte.

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2) Gleichungssystem: (1) 3 = 1 + b + c, (2) 3 = 25 + 5b + c → 4b = −24 → b = −6, c = 8. y = x² − 6x + 8.
Über die Symmetrie: Beide Punkte liegen auf gleicher Höhe, also d = 3; 3 = (1 − 3)² + e → e = −1 → y = (x − 3)² − 1 = x² − 6x + 8 – dasselbe Ergebnis.
Hier ist der Symmetrieweg schneller, weil die Punkte gleich hoch liegen. Bei unterschiedlichen Höhen braucht man das Gleichungssystem.

3) y = (x − 2)² − 1 = x² − 4x + 3. Zwei Punkte darauf: z. B. P(0 | 3) und Q(4 | 3). Das Gleichungssystem liefert b = −4 und c = 3 ✓

Buchaufgaben: Lösungen im Buch [Seitenzahl prüfen].

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