Die Produktform – Problem
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ProblemVideoEinstiegÜbungKontrolleNachweis
Es gibt eine Schreibweise, bei der man die Nullstellen einfach ablesen kann – ganz ohne Rechnung. Finde heraus, wie sie funktioniert.
1Entdecken
Gegeben ist y = (x − 1)·(x − 5).
- Berechne die y-Werte für x = 1 und x = 5. Was fällt dir auf?
- Multipliziere den Term aus. Welche Normalform entsteht?
- Berechne die Nullstellen dieser Normalform. Vergleiche.
2Begründen
Warum sind 1 und 5 genau die Nullstellen?
- Wann ist ein Produkt null?
- Übertrage das auf (x − 1)·(x − 5) = 0.
Selbstcheck: Nullstellen von y = (x − 2)·(x − 7)? Gib die größere an.
📖 Lösungen anzeigen
1) Für x = 1 wird der erste Faktor null, für x = 5 der zweite – in beiden Fällen ist y = 0. Ausmultipliziert: y = x² − 6x + 5. Deren Nullstellen sind ebenfalls 1 und 5.
2) Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist (Satz vom Nullprodukt). Aus (x − 1)·(x − 5) = 0 folgt daher x − 1 = 0 oder x − 5 = 0, also x = 1 oder x = 5.