sin, cos, tan – Street Legend

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🎯 Das kannst du danach: Ich erkläre, warum sin, cos und tan nur vom Winkel abhängen und nicht von der Größe des Dreiecks, und nutze das zur Begründung.

Das Basiswissen

Im rechtwinkligen Dreieck (rechter Winkel bei C, hier bei B skizziert) betrachtet man die Seiten bezogen auf einen Winkel:

Die dem Winkel gegenüberliegende Kathete = Gegenkathete
Die am Winkel anliegende Kathete = Ankathete
Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite = Hypotenuse

sin α = Gegenkathete / Hypotenuse = a / c
cos α = Ankathete / Hypotenuse = b / c
tan α = Gegenkathete / Ankathete = a / b

Diese Verhältnisse hängen nur vom Winkel ab, nicht von der Größe des Dreiecks.

1Aufgaben

Bearbeite diese Aufgaben in deinem Buch:

S. 10 · Nr. 7 (rechte Spalte – Zoe)
S. 10 · Nr. 8 (Halbkreis, messen & mit TR vergleichen)
S. 10 · Nr. 8 (sin-/cos-Tabelle)
S. 10 · Nr. 9 (Betti – tan = sin/cos)

📖 Lösungen anzeigen

Nr. 7 (Zoe): sin30° = Gegenkathete/Hypotenuse = 0,5, also ist die Hypotenuse doppelt so lang wie die Gegenkathete von 30°. Spiegelt man das Dreieck an der Kathete, entsteht ein gleichseitiges Dreieck (alle Winkel 60°); das gegebene Dreieck ist genau dessen Hälfte. Der TR gibt sin30° = 0,5.

Nr. 8 (Halbkreis): In jedem der Dreiecke (α = 20°/30°/45°/80°) sind die Verhältnisse a/c, b/c und a/b unabhängig von der Größe und stimmen mit sinα, cosα und tanα des TR überein (z. B. 30°: a/c ≈ 0,50; b/c ≈ 0,87; a/b ≈ 0,58). Genaue Messwerte [prüfen S. 251].

Nr. 8 (Tabelle):

α	10°	20°	30°	45°	60°
sinα = cos(90°−α)	0,1736	0,3420	0,5000	0,7071	0,8660
cosα = sin(90°−α)	0,9848	0,9397	0,8660	0,7071	0,5000

Beobachtung: sinα = cos(90°−α) und cosα = sin(90°−α) – die beiden Zeilen sind jeweils gleich, weil sich in einem Dreieck die Rollen von Gegen- und Ankathete tauschen, wenn man vom anderen spitzen Winkel (90°−α) ausgeht.

Nr. 9 (Betti): sinα = a/c ⇒ a = c·sinα; cosα = b/c ⇒ b = c·cosα. Dann tanα = a/b = (c·sinα)/(c·cosα) = sinα / cosα. Der Faktor c kürzt sich – deshalb gilt die Formel in jedem rechtwinkligen Dreieck.

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