Funktion grafisch bestimmen – Street Legend

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🎯 Das kannst du danach: Ich bestimme aus einem Schaubild ohne direkt ablesbaren Scheitel die Funktionsgleichung und erkläre mein Vorgehen über die Symmetrieachse.

Das Basiswissen

Manchmal ist der Scheitel im Schaubild nicht ablesbar – z. B. weil er außerhalb liegt. Dann hilft die Symmetrie der Parabel.

Jede Parabel ist symmetrisch zu einer senkrechten Achse durch den Scheitel.
1. Zwei Punkte auf gleicher Höhe suchen (gleicher y-Wert)
2. Mitte der beiden x-Werte = x-Wert des Scheitels (= d)
3. Einen der Punkte in y = (x − d)² + e einsetzen → e

Beispiel: P(1 | 1) und Q(5 | 1)

Mitte von 1 und 5: d = 3
P einsetzen: 1 = (1 − 3)² + e = 4 + e → e = −3
y = (x − 3)² − 3, S(3 | −3)

Sonderfall Nullstellen: Sind die beiden Punkte Nullstellen (y = 0), gilt genau dasselbe – nur noch kürzer:

1. Mitte der Nullstellen = d
2. Abstand von d zu einer Nullstelle = s
3. e = −s²

Beispiel: Nullstellen x₁ = 1 und x₂ = 3

Mitte: d = 2 · Abstand: s = 1 · e = −1² = −1
y = (x − 2)² − 1 = x² − 4x + 3

1Buchaufgaben

Bearbeite diese Aufgaben in deinem Buch:

Buch 10 · S. 125 · Nr. 6
Buch 10 · S. 125 · Nr. 4 (rechte Spalte)

2Scheitel außerhalb

Eine verschobene Normalparabel geht durch P(4 | 7) und Q(10 | 7).

Bestimme Scheitel und Gleichung.
Erkläre, warum du den Scheitel nicht ablesen musst.

Selbstcheck: x-Wert des Scheitels?

3Zwei Wege vergleichen

Eine Parabel hat die Nullstellen x₁ = −3 und x₂ = 7.

Bestimme die Gleichung über die Symmetrieachse.
Bestimme sie alternativ, indem du beide Nullstellen als Punkte (x | 0) in die Normalform einsetzt und ein Gleichungssystem löst.
Vergleiche: Welcher Weg ist schneller? Begründe.

4Scheitel außerhalb & zwei Wege

Eine Normalparabel geht durch (0 | 3) und (4 | 3).

a) Bestimme den Scheitel.
b) Ermittle die Gleichung auf zwei Wegen (Symmetrie / Einsetzen).
c) Begründe, warum beide Wege dasselbe liefern.

📖 Lösungen anzeigen

2) d = (4 + 10) : 2 = 7; 7 = (4 − 7)² + e = 9 + e → e = −2. y = (x − 7)² − 2, S(7 | −2).
Man braucht den Scheitel nicht abzulesen, weil ihn die Symmetrie eindeutig festlegt – zwei gleich hohe Punkte genügen.

3) Über die Symmetrie: d = (−3 + 7) : 2 = 2, Abstand 5 → e = −25. y = (x − 2)² − 25 = x² − 4x − 21.
Über das Gleichungssystem: 0 = 9 − 3b + c und 0 = 49 + 7b + c → b = −4, c = −21 – dasselbe Ergebnis.
Der Weg über die Symmetrie ist deutlich schneller, weil man kein Gleichungssystem lösen muss.

Buchaufgaben: Lösungen im Buch [Seitenzahl prüfen].

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