Funktion grafisch bestimmen – Operator

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🎯 Das kannst du danach: Ich bestimme den Scheitelpunkt mithilfe der Symmetrieachse – ob aus zwei gleich hohen Punkten oder aus den Nullstellen – und stelle daraus die Funktionsgleichung auf.

Das Basiswissen

Manchmal ist der Scheitel im Schaubild nicht ablesbar – z. B. weil er außerhalb liegt. Dann hilft die Symmetrie der Parabel.

Jede Parabel ist symmetrisch zu einer senkrechten Achse durch den Scheitel.
1. Zwei Punkte auf gleicher Höhe suchen (gleicher y-Wert)
2. Mitte der beiden x-Werte = x-Wert des Scheitels (= d)
3. Einen der Punkte in y = (x − d)² + e einsetzen → e

Beispiel: P(1 | 1) und Q(5 | 1)

Mitte von 1 und 5: d = 3
P einsetzen: 1 = (1 − 3)² + e = 4 + e → e = −3
y = (x − 3)² − 3, S(3 | −3)

Sonderfall Nullstellen: Sind die beiden Punkte Nullstellen (y = 0), gilt genau dasselbe – nur noch kürzer:

1. Mitte der Nullstellen = d
2. Abstand von d zu einer Nullstelle = s
3. e = −s²

Beispiel: Nullstellen x₁ = 1 und x₂ = 3

Mitte: d = 2 · Abstand: s = 1 · e = −1² = −1
y = (x − 2)² − 1 = x² − 4x + 3

1Buchaufgaben

Bearbeite diese Aufgaben in deinem Buch:

Buch 10 · S. 125 · Nr. 3 (rechte Spalte)

2Gleichung aus zwei Punkten

Die Punkte liegen auf einer verschobenen Normalparabel und auf gleicher Höhe. Bestimme Scheitel und Gleichung:

a) P(2 | 5), Q(8 | 5) b) P(−1 | 2), Q(3 | 2)

Selbstcheck: y-Wert des Scheitels bei P(−1 | 2) und Q(3 | 2)?

3Aus den Nullstellen

Bestimme die Gleichung in Scheitel- und Normalform:

a) Nullstellen x₁ = 1, x₂ = 5 b) Nullstellen x₁ = −2, x₂ = 4

4Aus dem Schaubild

Zeichne eine verschobene Normalparabel durch A(0 | 3) und B(4 | 3). Bestimme die Gleichung und prüfe sie mit einem der Punkte.

5Gleichung aus Angaben

Bestimme die verschobene Normalparabel.

a) Scheitel (3 | −2): Gleichung?
b) durch die Nullstellen 1 und 5: Gleichung?
c) Gib jeweils die Scheitelform an.

Selbstcheck: Scheitel-x zwischen den Nullstellen 1 und 5?

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2) a) d = 5; 5 = (2 − 5)² + e = 9 + e → e = −4; y = (x − 5)² − 4, S(5 | −4).
b) d = 1; 2 = (−1 − 1)² + e = 4 + e → e = −2; y = (x − 1)² − 2, S(1 | −2).

3) a) d = 3, Abstand 2 → e = −4: y = (x − 3)² − 4 = x² − 6x + 5.
b) d = 1, Abstand 3 → e = −9: y = (x − 1)² − 9 = x² − 2x − 8.

4) d = 2; 3 = (0 − 2)² + e → e = −1; y = (x − 2)² − 1. Probe mit B: (4 − 2)² − 1 = 3 ✓

Buchaufgaben: Lösungen im Buch [Seitenzahl prüfen].

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