Schnittpunkte zweier Graphen – Street Legend

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ProblemVideoEinstiegÜbungKontrolleNachweis
🎯 Das kannst du danach: Ich bestimme Schnittpunkte rechnerisch, deute die Anzahl der Lösungen (auch den Berührpunkt) und überprüfe mein Ergebnis am Graphen.

Das Basiswissen

Im Schnittpunkt haben beide Graphen denselben x- und denselben y-Wert. Deshalb darf man die Terme gleichsetzen.

1. Terme gleichsetzen
2. nach 0 umstellen und lösen → die x-Werte
3. x-Werte in eine der Gleichungen einsetzen → die y-Werte
4. Schnittpunkte als Punkte angeben

Beispiel: p: y = x² − 1 und g: y = x + 1

x² − 1 = x + 1   |−x −1
x² − x − 2 = 0
x = 0,5 ± √(0,25 + 2) = 0,5 ± 1,5 → x = 2 und x = −1
y-Werte: y = 2 + 1 = 3 bzw. y = −1 + 1 = 0
S₁(2 | 3), S₂(−1 | 0)

1Buchaufgaben

Bearbeite diese Aufgaben in deinem Buch:

  • Buch 10 · S. 121 · Nr. 8

2Anzahl steuern

Gegeben ist p: y = x². Gib eine Gerade g: y = 2x + n an, sodass es

  • zwei Schnittpunkte gibt
  • genau einen (Berührpunkt) gibt
  • keinen Schnittpunkt gibt

Selbstcheck: Für welches n gibt es genau einen Berührpunkt?

3Zwei Normalparabeln

Untersuche p₁: y = x² + b₁x + c₁ und p₂: y = x² + b₂x + c₂ allgemein.

  • Was passiert beim Gleichsetzen mit dem Term x²?
  • Wie viele Schnittpunkte können zwei verschobene Normalparabeln höchstens haben? Begründe.
  • Wann haben sie gar keinen?

4Anzahl steuern und begründen

Untersuche, wie viele Schnittpunkte entstehen.

a)  Für welche c schneidet y = x² die Gerade y = x + c in zwei, einem oder keinem Punkt?
b)  Konstruiere zwei Parabeln, die sich genau einmal berühren.
c)  Begründe deine Antwort mit dem Term unter der Wurzel.

📖 Lösungen anzeigen

2) x² = 2x + n → x² − 2x − n = 0 → (x − 1)² = n + 1.
• n > −1 (z. B. n = 3): zwei Schnittpunkte
• n = −1: genau ein Berührpunkt
• n < −1 (z. B. n = −5): kein Schnittpunkt

3) Beim Gleichsetzen fällt x² auf beiden Seiten weg. Übrig bleibt eine lineare Gleichung – die hat höchstens eine Lösung. Zwei verschobene Normalparabeln schneiden sich also höchstens in einem Punkt.
Gar keinen Schnittpunkt gibt es, wenn b₁ = b₂ (aber c₁ ≠ c₂) ist – dann sind die Parabeln deckungsgleich verschoben und verlaufen „parallel“.

Buchaufgaben: Lösungen im Buch [Seitenzahl prüfen].

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