Schnittpunkt mit der x-Achse – Operator

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🎯 Das kannst du danach: Ich berechne die Nullstellen einer quadratischen Funktion (Lösungsformel bzw. Satz vom Nullprodukt) und gebe die Schnittpunkte mit der x-Achse an.

Das Basiswissen

Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind die Punkte, an denen y = 0 ist. Ihre x-Werte heißen Nullstellen. Zum Berechnen hast du drei Wege:

1. Aus der Scheitelform: (x − d)² + e = 0 → (x − d)² = −e → Wurzel ziehen (±!)
2. Satz vom Nullprodukt: wenn c = 0, z. B. x² + 4x = x·(x + 4) = 0
3. Lösungsformel: x_1,2 = −b/2 ± √((b/2)² − c)

Wie viele Nullstellen? Das verrät dir der Scheitel:

Scheitel unterhalb der x-Achse → zwei
Scheitel auf der x-Achse → eine
Scheitel oberhalb der x-Achse → keine

1Mit der Lösungsformel

Berechne die Nullstellen mit x_1,2 = −b/2 ± √((b/2)² − c):

a) y = x² − 6x + 8 b) y = x² + 2x − 8 c) y = x² − 2x − 8

Selbstcheck: Gib die größere Nullstelle von y = x² − 6x + 8 an.

2Satz vom Nullprodukt

Wenn kein absolutes Glied da ist, geht es schneller. Klammere x aus:

a) y = x² + 4x b) y = x² − 5x c) y = x² + 7x

Idee: x² + 4x = x·(x + 4). Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist.

3Nullstellen und Schnittpunkte

Berechne die Nullstellen und gib die Schnittpunkte mit der x-Achse als Punkte an:

a) y = x² − 4x + 3 b) y = x² + 6x + 5

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5) a) x = 3 ± √(9 − 8) = 3 ± 1 → x = 4 und x = 2 b) x = −1 ± √(1 + 8) = −1 ± 3 → x = 2 und x = −4 c) x = 1 ± √(1 + 8) = 1 ± 3 → x = 4 und x = −2

6) a) x·(x + 4) = 0 → x = 0 und x = −4 b) x·(x − 5) = 0 → x = 0 und x = 5 c) x = 0 und x = −7

7) a) x = 1 und x = 3 → (1 | 0) und (3 | 0) b) x = −1 und x = −5 → (−1 | 0) und (−5 | 0)

Buchaufgaben: Lösungen im Buch [Seitenzahl prüfen].

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