Scheitel auf der y-Achse – Street Legend

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🎯 Das kannst du danach: Ich erkläre mithilfe des Plotters, warum der Scheitel genau dann auf der y-Achse liegt, wenn d = 0 (also b = 0) ist, und bestimme e aus einem gegebenen Punkt.

Das Basiswissen

y = x² + e mit S(0 | e)

Hier ist d = 0 – die Parabel wird nur senkrecht verschoben.
e > 0: nach oben · e < 0: nach unten
Der Scheitel liegt immer auf der y-Achse.
Für e = 0 entsteht die Normalparabel y = x².

In der Normalform heißt das: b = 0 – es gibt keinen x-Term.

1Begründen

Tim behauptet: „Bei y = x² + e kann der Scheitel nie links oder rechts von der y-Achse liegen.“

Hat Tim recht? Begründe mit der Scheitelform.
Welchen Wert hat b in der Normalform y = x² + bx + c?
Gib eine Gleichung an, deren Scheitel nicht auf der y-Achse liegt.

2Weiterdenken: Nullstellen

Untersuche mit dem Plotter, für welche e die Parabel y = x² + e die x-Achse schneidet.

Für welche e gibt es zwei Schnittpunkte?
Für welche genau einen?
Für welche keinen?

Selbstcheck: Für welches e gibt es genau einen Schnittpunkt?

3Nullstellen je nach e

Die Parabel y = x² + e hat ihren Scheitel auf der y-Achse bei (0 | e).

Für welche e hat sie zwei, eine oder keine Nullstelle? Begründe mit der Lage des Scheitels.

Selbstcheck: Wie viele Nullstellen hat y = x² − 9?

4Nullstellen steuern

Die Parabel y = x² + e hat ihren Scheitel auf der y-Achse.

a) Für welches e berührt sie die x-Achse genau einmal?
b) Nenne ein e, bei dem sie zwei Nullstellen hat.
c) Begründe, warum y = x² + 3 keine Nullstelle hat.

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2) Tim hat recht. In y = (x − d)² + e gibt d die Verschiebung in x-Richtung an. Bei y = x² + e ist d = 0 – also keine seitliche Verschiebung. In der Normalform ist b = 0, denn es gibt keinen x-Term.
Beispiel mit Scheitel neben der y-Achse: y = (x − 3)² = x² − 6x + 9 mit b = −6.

3) Der Scheitel liegt bei S(0 | e), die Parabel ist nach oben geöffnet:
• e < 0: Scheitel unterhalb → zwei Schnittpunkte
• e = 0: Scheitel auf der x-Achse → ein Schnittpunkt
• e > 0: Scheitel oberhalb → kein Schnittpunkt
Beispiel: y = x² − 9 schneidet bei x = 3 und x = −3.

Buchaufgaben: Lösungen im Buch [Seitenzahl prüfen].

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