Die Scheitelform – Street Legend

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🎯 Das kannst du danach: Ich ordne Gleichung und Graph begründet einander zu und erkläre, warum sich jede Parabel als verschobene Normalparabel auffassen lässt.

Das Basiswissen

Jede Parabel, die wir in Klasse 10 untersuchen, ist eine verschobene Normalparabel. Ihre Lage beschreibt die Scheitelform:

y = (x − d)² + e mit S(d | e)

d verschiebt nach rechts (d > 0) oder links (d < 0)
e verschiebt nach oben (e > 0) oder unten (e < 0)
Setzt du d = 0 und e = 0, entsteht y = x² – die Normalparabel mit S(0 | 0). Sie ist also nur ein Spezialfall.

Vorsicht beim Vorzeichen: In y = (x + 3)² steht ein Plus – du liest d = −3, denn (x + 3) = (x − (−3)).

1Begründen

Lena sagt: „Es gibt drei verschiedene Formeln für Parabeln: y = x², y = x² + e und y = (x − d)² + e.“

Was ist an Lenas Aussage falsch? Begründe.
Erkläre einer Mitschülerin, warum eine Form genügt.

2Rückwärts denken

Eine verschobene Normalparabel geht durch P(1 | 5) und hat den Scheitel auf der Geraden x = 3.

Gib die Gleichung in Scheitelform an.
Wo liegt der Scheitelpunkt?

Selbstcheck: Welchen Wert hat e?

3Zuordnen und begründen

Vier Parabeln haben die Scheitel S₁(0 | 0), S₂(2 | 0), S₃(0 | 2), S₄(2 | 2).

Gib zu jedem Scheitel die Gleichung an.
Welche dieser Parabeln berührt oder schneidet die x-Achse? Begründe ohne zu zeichnen.

4Parabelfamilie

Betrachte alle Parabeln y = (x − d)² + e mit e = −d.

a) Nenne drei solche Parabeln.
b) Wo liegen ihre Scheitel? Beschreibe die Linie.
c) Geht eine davon durch den Ursprung? Begründe.

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2) Es gibt nur eine Form: y = (x − d)² + e. Die beiden anderen sind Spezialfälle – y = x² + e für d = 0 und y = x² für d = 0 und e = 0. Man muss sich also nur eine Form merken.

3) Der Scheitel liegt bei x = 3, also d = 3: y = (x − 3)² + e. P einsetzen: 5 = (1 − 3)² + e = 4 + e → e = 1. Also y = (x − 3)² + 1 mit S(3 | 1).

4) y = x² / y = (x − 2)² / y = x² + 2 / y = (x − 2)² + 2.
Die Parabeln sind nach oben geöffnet. Liegt der Scheitel auf der x-Achse (e = 0), gibt es genau einen gemeinsamen Punkt – das gilt für S₁ und S₂. Liegt er oberhalb (e = 2), gibt es keinen – S₃ und S₄.

Buchaufgaben: Lösungen im Buch [Seitenzahl prüfen].

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