binomische Formeln – Street Legend

★

★

★

★

★

ProblemVideoEinstiegÜbungKontrolleNachweis

🎯 Das kannst du danach: Ich nutze die binomischen Formeln zum geschickten Rechnen, entscheide begründet, welcher Weg schneller ist, und erkenne sie in zusammengesetzten Termen.

Worum es hier geht

Auf diesem Level rechnest du nicht nur – du entscheidest und begründest. Oft gibt es zwei Wege, und einer ist deutlich schneller.

Beispiel: 98 · 102 im Kopf.

98 = 100 − 2 und 102 = 100 + 2. Das ist die dritte Formel: (100 − 2)(100 + 2) = 1002 − 22 = 10000 − 4 = 9996.

Aufgaben

  1. Rechne im Kopf und schreibe deinen Weg auf: 97 · 103  ·  49 · 51  ·  199 · 201
  2. Berechne 512 im Kopf. Tipp: 51 = 50 + 1. Welche Formel hilft?
  3. Vereinfache: (x + 4)2 − (x − 4)2. Begründe, warum das Ergebnis so einfach wird.
  4. Vereinfache: (a + b)2 − (a2 + b2)
  5. Ergänze zum vollständigen Quadrat: x2 + 16x + ___  ·  x2 − 5x + ___
  6. Zeige: (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
  7. Ist 4x2 + 6x + 9 ein vollständiges Quadrat? Begründe deine Antwort.
  8. Denksport: Für welche Zahl b ist x2 + bx + 49 ein vollständiges Quadrat? Gibt es mehr als eine Lösung?
1Hilfe 1 · zum Kopfrechnen
Suche die Mitte zwischen den beiden Zahlen. Bei 97 und 103 ist das 100. Dann sind es (100 − 3) und (100 + 3).
2Hilfe 2 · zu Nr. 3 und 4
Multipliziere beide Quadrate zuerst einzeln aus. Schreibe sie untereinander – dann siehst du sofort, was sich aufhebt.
3Hilfe 3 · zum Ergänzen
Das mittlere Glied ist 2ab. Wenn du a kennst und das mittlere Glied kennst, kannst du b ausrechnen: b = mittleres Glied geteilt durch (2 · a). Gesucht ist dann b2.
4Hilfe 4 · zur letzten Aufgabe
Aus 49 folgt b = 7 oder b = −7. Setze beides in die Formel ein und schau, welches mittlere Glied jeweils entsteht.
✓ Lösung anzeigen
  • 1. 97·103 = 1002 − 32 = 9991  ·  49·51 = 502 − 1 = 2499  ·  199·201 = 2002 − 1 = 39999
  • 2. 512 = (50 + 1)2 = 2500 + 100 + 1 = 2601 (1. Formel)
  • 3. (x2 + 8x + 16) − (x2 − 8x + 16) = 16x. Die Quadrate und die 16 heben sich auf, die beiden mittleren Glieder addieren sich.
  • 4. a2 + 2ab + b2 − a2 − b2 = 2ab
  • 5. x2 + 16x + 64 = (x + 8)2  ·  x2 − 5x + 6,25 = (x − 2,5)2
  • 6. (a2 + 2ab + b2) − (a2 − 2ab + b2) = 4ab ✓
  • 7. Nein. a = 2x und b = 3 ergeben 2·2x·3 = 12x, nicht 6x. Es fehlt also nicht viel – aber es passt nicht.
  • 8. b = 14 (dann x2 + 14x + 49 = (x + 7)2) oder b = −14 (dann (x − 7)2). Es gibt genau zwei Lösungen.
ZURÜCK
ÜBERSICHT
WEITER