binomische Formeln – Problem

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ProblemVideoEinstiegÜbungKontrolleNachweis

Probiere die Aufgabe zuerst ohne Video. Wenn du nicht weiterkommst, nutze die gestuften Hilfen – und danach die Lösung.

Hannes soll (x + 3)2 ausrechnen. Er schreibt:

„Das ist doch einfach: x2 + 9.“

Seine Sitznachbarin rechnet nach und bekommt x2 + 6x + 9 heraus.

(x + 3)2  =  x2 + 6x + 9

Woher kommt das 6x? Erkläre, warum Hannes’ Rechnung nicht stimmt. Zeichne dazu ein Quadrat mit der Seitenlänge x + 3.

Und dann die Gegenrichtung: Wie kommt man von x2 + 6x + 9 wieder zurück zu (x + 3)2?

1Hilfe 1 · kleiner Anstoß
(x + 3)2 bedeutet (x + 3) · (x + 3). Rechne es einmal ganz aus – jeder Summand der ersten Klammer mal jeder Summand der zweiten.
2Hilfe 2 · konkreter
Es entstehen vier Teilprodukte: x·x, x·3, 3·x und 3·3. Die beiden mittleren sind gleich groß – zusammen ergeben sie 2 · 3 · x = 6x.
3Hilfe 3 · das Bild dazu
Zeichne ein Quadrat mit der Seite x + 3. Es zerfällt in vier Flächen: ein großes Quadrat x2, zwei gleiche Rechtecke 3x und ein kleines Quadrat 32 = 9. Die beiden Rechtecke sind genau das, was Hannes vergessen hat.
4Hilfe 4 · für den Rückweg
Schau dir x2 + 6x + 9 an. Ziehe aus dem ersten und dem letzten Glied die Wurzel: √(x2) = x und √9 = 3. Prüfe dann: Passt 2 · x · 3 zum mittleren Glied?
✓ Lösung anzeigen

Warum 6x? Ein Quadrat wird nicht gliedweise quadriert. Ausgeschrieben:

(x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = x2 + 3x + 3x + 9 = x2 + 6x + 9

Die beiden mittleren Teilprodukte 3x sind zusammen 6x. Genau die fehlen bei Hannes.

Am Quadrat: Seitenlänge x + 3, Fläche (x + 3)2. Sie besteht aus x2 (großes Quadrat), zwei Rechtecken mit je 3x und 9 (kleines Quadrat). Zusammen: x2 + 6x + 9.

Der Rückweg (faktorisieren): Aus x2 folgt a = x, aus 9 folgt b = 3. Probe: 2 · x · 3 = 6x – das passt zum mittleren Glied. Also ist x2 + 6x + 9 = (x + 3)2.

Merke

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2  —  das mittlere Glied 2ab ist der Teil, den man am leichtesten vergisst.

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