binomische Formeln – Operator

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ProblemVideoEinstiegÜbungKontrolleNachweis

🎯 Das kannst du danach: Ich erkenne an einem Term wie x² + 10x + 25, dass eine binomische Formel dahintersteckt, und schreibe ihn als Quadrat.

Das Basiswissen

Rückwärts arbeiten heißt: faktorisieren.

Du bekommst drei Glieder und suchst die Klammer. So prüfst du:

  1. Wurzel aus dem ersten Glied → das ist a
  2. Wurzel aus dem letzten Glied → das ist b
  3. Probe: Ist das mittlere Glied wirklich 2 · a · b?
  4. Vorzeichen in der Mitte → Plus oder Minus in der Klammer

Beispiel: x2 + 10x + 25

√(x2) = x  ·  √25 = 5  ·  Probe: 2 · x · 5 = 10x ✓

Ergebnis: (x + 5)2

Wichtig: Die Probe entscheidet

Nicht jeder Term mit drei Gliedern ist ein Binom. Bei x2 + 8x + 15 wäre a = x und b = √15 – und 2 · x · √15 ist nicht 8x. Also keine binomische Formel.

Aufgaben

Schreibe als Quadrat eines Binoms. Mache immer die Probe.

  1. x2 + 8x + 16
  2. x2 − 12x + 36
  3. a2 + 14a + 49
  4. y2 − 2y + 1
  5. 4x2 + 12x + 9  – das erste Glied ist nicht x2
  6. 9a2 − 30a + 25
  7. 25m2 + 20mn + 4n2
  8. x2 + 7x + 12  – Vorsicht!
1Hilfe 1 · wo anfangen?
Immer außen beginnen: erst die Wurzel aus dem ersten Glied, dann aus dem letzten. Das mittlere Glied brauchst du erst für die Probe.
2Hilfe 2 · wenn vorne eine Zahl steht
Bei 4x2 ist die Wurzel 2x, denn (2x)2 = 4x2. Bei 9a2 ist es 3a, bei 25m2 ist es 5m.
3Hilfe 3 · die Probe
Nimm dein a und dein b und rechne 2 · a · b. Kommt genau das mittlere Glied heraus, passt es. Kommt etwas anderes heraus, ist es keine binomische Formel.
4Hilfe 4 · zur letzten Aufgabe
Prüfe bei x2 + 7x + 12 ganz genau: √12 ist keine ganze Zahl. Was sagt dir das?
✓ Lösung anzeigen
  • x2 + 8x + 16 = (x + 4)2  a = x, b = 4, Probe 2·x·4 = 8x
  • x2 − 12x + 36 = (x − 6)2
  • a2 + 14a + 49 = (a + 7)2
  • y2 − 2y + 1 = (y − 1)2
  • 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2  a = 2x, b = 3, Probe 2·2x·3 = 12x
  • 9a2 − 30a + 25 = (3a − 5)2
  • 25m2 + 20mn + 4n2 = (5m + 2n)2
  • x2 + 7x + 12 – keine binomische Formel. √12 ist keine ganze Zahl, und 2·x·√12 wäre nicht 7x. (Es ist (x + 3)(x + 4) – aber kein Quadrat.)
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