Modellieren mit Parabeln – Street Legend

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🎯 Das kannst du danach: Ich bearbeite komplexe Modellierungsaufgaben im Prüfungsstil, wähle ein passendes Koordinatensystem, deute meine Ergebnisse zurück und prüfe sie auf Sinnhaftigkeit.

Das Basiswissen

Viele reale Vorgänge haben die Form einer Parabel: ein geworfener Ball, ein Wasserstrahl, ein Brückenbogen. Modellieren heißt: die Situation in eine Gleichung übersetzen, rechnen und das Ergebnis wieder auf die Situation zurückdeuten.

Übersetzung Situation ↔ Parabel:
• Scheitel S(d | e) = höchster Punkt (Ball, Wasserstrahl) oder tiefster Punkt (Hängebrücke)
• Nullstellen (y = 0) = Auftreffpunkt am Boden, Weite, Spannweite
• y-Achsenabschnitt (x = 0) = Starthöhe / Anfangswert
• „Wie hoch bei x = …?“ = x einsetzen
• „Wo ist die Höhe y = …?“ = Gleichung lösen

Tipp: Lege das Koordinatensystem geschickt – oft so, dass der Scheitel auf der y-Achse liegt (d = 0). Dann genügt y = a·x² + e.

1Prüfung: Brückenbogen

Nach einer Wahlteil-Prüfungsaufgabe. Ein Brückenbogen ist eine nach unten geöffnete Parabel. Der Scheitel liegt 25 m hoch (Koordinatensystem: y-Achse durch den Scheitel, x-Achse auf Höhe der Auflager). Der Bogen berührt den Boden bei P(50 | 0).

Stelle y = a·x² + c auf und bestimme a und c.
Berechne die Spannweite (Abstand der beiden Auflagerpunkte).

Selbstcheck: Welchen Wert hat a?

2Zwei Fragen zu einem Wurf

Ein Ball fliegt nach y = −0,2·(x − 5)² + 5.

Wie weit und wie hoch fliegt der Ball?
In welcher Höhe ist der Ball bei x = 2 und bei x = 8 – und warum sind beide Werte gleich?
Bei welchen x ist der Ball genau 3 m hoch?

Selbstcheck: Maximale Höhe (in m)?

3Buchaufgaben

Bearbeite diese Aufgaben in deinem Buch:

Buch 9 · S. 119 · Nr. 7
Buch 9 · S. 123 · Nr. 3

📖 Lösungen anzeigen

1) Brückenbogen: Scheitel auf der y-Achse: c = 25, also y = a·x² + 25. Punkt (50 | 0): 0 = a·2500 + 25 → a = −0,01. y = −0,01x² + 25. Spannweite: 0 = −0,01x² + 25 → x² = 2500 → x = ±50, Spannweite = 100 m.

2) Wurf: Scheitel S(5 | 5): maximal 5 m hoch bei x = 5. Weite: (x − 5)² = 25 → x = 0 oder x = 10, also 10 m.
Bei x = 2: y = −0,2·9 + 5 = 3,2 m; bei x = 8: y = −0,2·9 + 5 = 3,2 m. Gleich, weil beide gleich weit (je 3) vom Scheitel bei x = 5 entfernt sind – die Parabel ist symmetrisch.
Höhe 3 m: 3 = −0,2·(x − 5)² + 5 → (x − 5)² = 10 → x = 5 ± √10 ≈ 1,84 und 8,16.

Buchaufgaben: Lösungen im Buch [Seitenzahl prüfen].

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