Modellieren mit Parabeln – Operator

★

ProblemVideoEinstiegÜbungKontrolleNachweis

🎯 Das kannst du danach: Ich stelle zu einer Sachsituation selbst die Parabelgleichung auf (Scheitel und ein Punkt) und beantworte damit Fragen zur Höhe, Weite oder zum höchsten Punkt.

Das Basiswissen

Viele reale Vorgänge haben die Form einer Parabel: ein geworfener Ball, ein Wasserstrahl, ein Brückenbogen. Modellieren heißt: die Situation in eine Gleichung übersetzen, rechnen und das Ergebnis wieder auf die Situation zurückdeuten.

Übersetzung Situation ↔ Parabel:
• Scheitel S(d | e) = höchster Punkt (Ball, Wasserstrahl) oder tiefster Punkt (Hängebrücke)
• Nullstellen (y = 0) = Auftreffpunkt am Boden, Weite, Spannweite
• y-Achsenabschnitt (x = 0) = Starthöhe / Anfangswert
• „Wie hoch bei x = …?“ = x einsetzen
• „Wo ist die Höhe y = …?“ = Gleichung lösen

Tipp: Lege das Koordinatensystem geschickt – oft so, dass der Scheitel auf der y-Achse liegt (d = 0). Dann genügt y = a·x² + e.

1Wurf aufstellen

Ein Ball erreicht seinen höchsten Punkt 5 m hoch, 2 m vom Absprung entfernt. Absprung im Ursprung.

Gib den Scheitel an und stelle die Gleichung y = a·(x − d)² + e auf.
Bestimme a über den Absprung (0 | 0).
Wie weit fliegt der Ball?

Selbstcheck: Welchen Wert hat a?

2Springbrunnen

Ein Wasserstrahl startet am Boden, erreicht 3 m Höhe nach 1,5 m und fällt wieder auf den Boden.

Stelle die Gleichung auf.
Bei welcher Weite trifft das Wasser auf?

3Brücke mit Scheitel oben

Ein Brückenbogen ist in der Mitte 6 m hoch und 20 m breit. Lege den Ursprung in die Mitte am Boden.

Wie lautet der Scheitel? Welchen Punkt kennst du am Boden?
Stelle y = a·x² + e auf und bestimme a.

Selbstcheck: Welchen Wert hat e (die Höhe in der Mitte)?

4Buchaufgaben

Bearbeite diese Aufgaben in deinem Buch:

Buch 9 · S. 118 · Nr. 5

📖 Lösungen anzeigen

1) S(2 | 5), also y = a·(x − 2)² + 5. (0 | 0): 0 = 4a + 5 → a = −1,25. Weite: (x − 2)² = 4 → x = 0 oder x = 4, also 4 m.

2) S(1,5 | 3), y = a·(x − 1,5)² + 3. (0 | 0): 0 = 2,25a + 3 → a = −4/3. Auftreffpunkt bei x = 3 m.

3) Scheitel S(0 | 6), also e = 6. Am Boden (10 | 0): 0 = a·100 + 6 → a = −0,06. y = −0,06x² + 6.

Buchaufgaben: Lösungen im Buch [Seitenzahl prüfen].

ZURÜCK

ÜBERSICHT

WEITER