Der Streckfaktor a – Street Legend

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🎯 Das kannst du danach: Ich vergleiche mehrere Parabeln y = a·x² + c, ordne Gleichung und Graph begründet zu und erkläre mithilfe des Plotters die Wirkung von a.

Das Basiswissen

Bisher waren alle Parabeln deckungsgleich mit der Normalparabel – d und e haben sie nur verschoben, nie ihre Form geändert. Dafür braucht es eine Zahl vor der Klammer: den Streckfaktor a.

volle Scheitelform: y = a·(x − d)² + e mit S(d | e)

An der Realschule bleibt der Scheitel auf der y-Achse, also d = 0. Dann wird daraus unsere Form:

y = a·x² + e mit S(0 | e)

a > 1: schmaler als die Normalparabel
0 < a < 1: breiter als die Normalparabel
a < 0: nach unten geöffnet
a = 1: die gewohnte Normalparabel

Der Scheitel bleibt bei S(0 | e) – a ändert nur die Form, nicht die Lage des Scheitels.

1Buchaufgaben

Bearbeite diese Aufgaben in deinem Buch:

Buch 10 · S. 113 · Nr. 3 (rechte Spalte)

2Zurück zur Scheitelform

Zeige, dass y = a·x² + c ein Spezialfall von y = a·(x − d)² + e ist.

Welchen Wert hat d?
Was entsteht für a = 1?
Erkläre, warum du dir trotzdem nur eine Form merken musst.

Selbstcheck: Welchen Wert hat d bei y = a·x² + c?

3Zuordnen und begründen

Zu vier Parabeln gehören die Gleichungen y = 2x² + 1, y = 0,5x² + 1, y = −2x² + 1 und y = x² + 1.

Was haben alle vier gemeinsam?
Woran unterscheidest du sie im Schaubild?
Welche schneidet die x-Achse? Begründe.

4Spiegeln und begründen

Untersuche den Einfluss von a.

a) y = −2x²: nach oben oder unten? breiter oder schmaler?
b) Gib die Parabel an, die an y = x² gespiegelt und doppelt so schmal ist.
c) Begründe, warum y = ax² und y = −ax² gleich breit sind.

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2) Bei y = a·x² + c ist d = 0: y = a·(x − 0)² + c = a·x² + c. Für a = 1 entsteht y = x² + c – also genau das, was du am Anfang gelernt hast. Alle Fälle stecken in einer Form; die anderen sind nur Spezialfälle mit d = 0 oder a = 1.

3) Alle haben denselben Scheitel S(0 | 1). Sie unterscheiden sich nur in Form und Öffnung: y = 2x² + 1 ist schmal, y = 0,5x² + 1 breit, y = x² + 1 ist die Normalparabel, y = −2x² + 1 ist nach unten geöffnet.
Nur y = −2x² + 1 schneidet die x-Achse: Der Scheitel liegt oberhalb, aber die Parabel öffnet nach unten. Alle anderen öffnen nach oben und bleiben oberhalb.

Buchaufgaben: Lösungen im Buch [Seitenzahl prüfen].

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