Die Produktform – Street Legend

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🎯 Das kannst du danach: Ich begründe mit dem Satz vom Nullprodukt, warum man an der Produktform die Nullstellen abliest, und wechsle sicher zwischen den Formen.

Das Basiswissen

Wahlthema. Neben Scheitelform und Normalform gibt es eine dritte Schreibweise – die Produktform. An ihr liest du die Nullstellen sofort ab. Du brauchst sie später an der weiterführenden Schule.

y = a·(x − x₁)·(x − x₂)
mit den Nullstellen x₁ und x₂

Warum funktioniert das? Wegen des Satzes vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.

y = (x − 1)·(x − 5)
y = 0 → x − 1 = 0 oder x − 5 = 0
x₁ = 1, x₂ = 5
Ausmultipliziert: y = x² − 6x + 5

1Satz vom Nullprodukt

Begründe ausführlich, warum man an der Produktform die Nullstellen ablesen kann.

Formuliere den Satz vom Nullprodukt.
Wende ihn auf y = a·(x − x₁)·(x − x₂) an.
Warum spielt a dabei keine Rolle?

Selbstcheck: Nullstellen von y = 3·(x − 2)·(x + 4)? Gib die kleinere an.

2Grenzen der Produktform

Nicht jede Parabel lässt sich in Produktform schreiben.

Versuche es mit y = x² + 1. Was stellst du fest?
Welche Bedingung muss erfüllt sein?
Welche Form ist dann nützlicher?

3Hin und zurück

Wandle um und vergleiche.

a) Schreibe y = (x − 2)(x − 6) in die Normalform.
b) Gib die Nullstellen direkt aus der Produktform an.

Selbstcheck: Kleinere Nullstelle von y = (x − 2)(x − 6)?

4Grenzen & Umkehr

Nicht jede Parabel hat eine reelle Produktform.

a) Warum lässt sich y = x² + 1 nicht mit reellen Nullstellen in Produktform schreiben?
b) Gib eine weitere Parabel ohne reelle Produktform an und begründe.

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2) Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.
Bei y = a·(x − x₁)·(x − x₂) = 0 kann a nicht null sein (sonst wäre es keine Parabel). Also muss (x − x₁) = 0 oder (x − x₂) = 0 sein → x = x₁ oder x = x₂.
a beeinflusst nur Form und Öffnung, nicht die Nullstellen. Bei y = 3·(x − 2)·(x + 4) sind sie x = 2 und x = −4.

3) y = x² + 1 hat keine Nullstellen (Scheitel S(0 | 1) liegt oberhalb der x-Achse). Ohne Nullstellen gibt es keine Produktform.
Bedingung: Die Parabel muss mindestens eine Nullstelle haben. Sonst ist die Scheitelform nützlicher – sie funktioniert immer.

Buchaufgaben: Lösungen im Buch [Seitenzahl prüfen].

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