Funktion grafisch bestimmen – Rookie

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🎯 Das kannst du danach: Ich weiß, dass die Symmetrieachse einer Parabel genau in der Mitte zwischen zwei gleich hohen Punkten (oder zwischen den Nullstellen) liegt.

Das Basiswissen

Manchmal ist der Scheitel im Schaubild nicht ablesbar – z. B. weil er außerhalb liegt. Dann hilft die Symmetrie der Parabel.

Jede Parabel ist symmetrisch zu einer senkrechten Achse durch den Scheitel.
1. Zwei Punkte auf gleicher Höhe suchen (gleicher y-Wert)
2. Mitte der beiden x-Werte = x-Wert des Scheitels (= d)
3. Einen der Punkte in y = (x − d)² + e einsetzen → e

Beispiel: P(1 | 1) und Q(5 | 1)

Mitte von 1 und 5: d = 3
P einsetzen: 1 = (1 − 3)² + e = 4 + e → e = −3
y = (x − 3)² − 3, S(3 | −3)

Sonderfall Nullstellen: Sind die beiden Punkte Nullstellen (y = 0), gilt genau dasselbe – nur noch kürzer:

1. Mitte der Nullstellen = d
2. Abstand von d zu einer Nullstelle = s
3. e = −s²

Beispiel: Nullstellen x₁ = 1 und x₂ = 3

Mitte: d = 2 · Abstand: s = 1 · e = −1² = −1
y = (x − 2)² − 1 = x² − 4x + 3

1Buchaufgaben

Bearbeite diese Aufgaben in deinem Buch:

Buch 10 · S. 125 · Nr. 2
Buch 10 · S. 125 · Nr. 3 (rechte Spalte)

2Symmetrieachse bestimmen

Gib den x-Wert des Scheitels an:

a) P(1 | 4), Q(7 | 4) b) P(0 | 2), Q(4 | 2) c) P(−5 | 1), Q(1 | 1)

Selbstcheck: x-Wert des Scheitels bei P(1 | 4) und Q(7 | 4)?

3Aus den Nullstellen

Die Nullstellen sind gegeben. Wo liegt die Symmetrieachse?

a) x₁ = 2, x₂ = 8 b) x₁ = −4, x₂ = 0

4Warum in der Mitte?

Erkläre in deinem Heft, warum der Scheitel genau in der Mitte zwischen zwei gleich hohen Punkten liegt.

5Mitte finden

Nutze die Symmetrie der Parabel.

a) Nullstellen −1 und 5: Symmetrieachse?
b) Nullstellen 2 und 8: Scheitel-x?

Selbstcheck: Symmetrieachse zwischen −1 und 5?

📖 Lösungen anzeigen

2) a) 4 b) 2 c) −2

3) a) 5 b) −2

4) Weil die Parabel symmetrisch zur senkrechten Achse durch den Scheitel ist: Zu jedem Punkt gibt es einen Spiegelpunkt auf gleicher Höhe. Die Achse liegt daher genau in der Mitte.

Buchaufgaben: Lösungen im Buch [Seitenzahl prüfen].

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