Schnittpunkt mit der x-Achse – Street Legend

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🎯 Das kannst du danach: Ich entscheide anhand der Lage des Scheitelpunkts, wie viele Nullstellen eine Parabel hat (zwei, eine oder keine), und begründe das am Graphen.

Das Basiswissen

Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind die Punkte, an denen y = 0 ist. Ihre x-Werte heißen Nullstellen. Zum Berechnen hast du drei Wege:

1. Aus der Scheitelform: (x − d)² + e = 0 → (x − d)² = −e → Wurzel ziehen (±!)
2. Satz vom Nullprodukt: wenn c = 0, z. B. x² + 4x = x·(x + 4) = 0
3. Lösungsformel: x_1,2 = −b/2 ± √((b/2)² − c)

Wie viele Nullstellen? Das verrät dir der Scheitel:

Scheitel unterhalb der x-Achse → zwei
Scheitel auf der x-Achse → eine
Scheitel oberhalb der x-Achse → keine

1Ohne Rechnung entscheiden

Begründe jeweils über den Scheitelpunkt, wie viele Nullstellen es gibt. Forme dazu erst in die Scheitelform um:

a) y = x² − 4x + 7 b) y = x² + 6x + 9 c) y = x² − 2x − 3

Selbstcheck: Wie viele Nullstellen hat y = x² − 4x + 7?

2Selbst konstruieren

Gib jeweils eine Gleichung der Form y = x² + bx + c an:

mit genau einer Nullstelle bei x = 3
mit den Nullstellen x = −1 und x = 5
ganz ohne Nullstelle

3Symmetrie der Nullstellen

Eine Normalparabel hat die Nullstellen x₁ = −1 und x₂ = 7.

a) Bestimme über die Symmetrie den x-Wert des Scheitels.
b) Gib die Gleichung in Scheitelform an.

Selbstcheck: x-Wert des Scheitels zwischen −1 und 7?

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2) a) y = (x − 2)² + 3, S(2 | 3) oberhalb → keine Nullstelle.
b) y = (x + 3)², S(−3 | 0) auf der Achse → eine (x = −3).
c) y = (x − 1)² − 4, S(1 | −4) unterhalb → zwei (x = 3 und x = −1).

3) • Eine Nullstelle bei x = 3: der Scheitel muss dort auf der x-Achse liegen → y = (x − 3)² = x² − 6x + 9.
• Nullstellen −1 und 5: der Scheitel liegt in der Mitte bei x = 2, Abstand 3 → y = (x − 2)² − 9 = x² − 4x − 5.
• Keine Nullstelle: Scheitel oberhalb, z. B. y = x² + 1.

Buchaufgaben: Lösungen im Buch [Seitenzahl prüfen].

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