Von der Normalform zur Scheitelform – Problem
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ProblemVideoEinstiegÜbungKontrolleNachweis
Aus der Normalform kann man den Scheitel nicht einfach ablesen. Finde heraus, wie man ihn trotzdem bekommt – ohne zu zeichnen.
1Das Problem
Gegeben ist y = x² − 4x + 7.
- Versuche, den Scheitelpunkt direkt abzulesen. Warum geht das nicht?
- Erstelle eine Wertetabelle für x = 0 bis 4 und finde den tiefsten Punkt.
2Der Trick
Vergleiche x² − 4x + 7 mit der binomischen Formel (x − 2)² = x² − 4x + 4.
- Welche Zahl fehlt, damit ein vollständiges Quadrat entsteht?
- Wie kannst du sie ergänzen, ohne den Term zu verändern?
Selbstcheck: Wie lautet der x-Wert des Scheitels von y = x² − 4x + 7?
📖 Lösungen anzeigen
1) In der Normalform steckt der Scheitel nicht sichtbar drin. Die Wertetabelle zeigt: x = 0 → 7, x = 1 → 4, x = 2 → 3, x = 3 → 4, x = 4 → 7. Der tiefste Punkt ist S(2 | 3).
2) Es fehlt die 4: x² − 4x + 4 = (x − 2)². Man addiert und subtrahiert sie: y = x² − 4x + 4 − 4 + 7 = (x − 2)² + 3. So ändert sich der Wert nicht – nur die Schreibweise. Ergebnis: S(2 | 3).