Von der Scheitelform zur Normalform – Street Legend

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ProblemVideoEinstiegÜbungKontrolleNachweis

🎯 Das kannst du danach: Ich forme sicher um und kontrolliere mein Ergebnis, indem ich einen geeigneten Punkt in beide Formen einsetze.

Das Basiswissen

Dieselbe Parabel lässt sich auf zwei Arten schreiben. Von der Scheitelform zur Normalform kommst du durch Ausmultiplizieren.

Binomische Formeln:
(x − d)² = x² − 2dx + d²
(x + d)² = x² + 2dx + d²

Beispiel:

y = (x − 3)² + 2
y = x² − 6x + 9 + 2
y = x² − 6x + 11

Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Parabel – nur anders aufgeschrieben.

1Buchaufgaben

Bearbeite diese Aufgaben in deinem Buch:

Buch 10 · S. 123 · Nr. 28
Buch 10 · S. 131 · Nr. 28

2Zusammenhang b und d

Forme y = (x − d)² + e allgemein in die Normalform um.

Zeige, dass b = −2d gilt.
Was folgt daraus für d = 0?
Wie kannst du an b sofort erkennen, ob der Scheitel links oder rechts der y-Achse liegt?

Selbstcheck: Welchen Wert hat b, wenn d = 4 ist?

3Fehler finden

Lars rechnet: y = (x + 3)² − 2 = x² + 9 − 2 = x² + 7.

Wo liegt sein Fehler?
Korrigiere und prüfe mit x = 1.

4Zusammenhang und Grenzen

Betrachte y = x² + bx + c.

a) Zeige allgemein: der Scheitel-x ist −b/2.
b) Für welche c liegt der Scheitel von y = x² + 6x + c auf der x-Achse?
c) Kann der Scheitel-x positiv sein, wenn b > 0 ist? Begründe.

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2) y = (x − d)² + e = x² − 2dx + d² + e. Vergleicht man mit y = x² + bx + c, folgt b = −2d und c = d² + e.
Für d = 0 wird b = 0 – genau der Fall „Scheitel auf der y-Achse“. Für d = 4 ist b = −8.
Ist b negativ, ist d positiv → Scheitel rechts der y-Achse; ist b positiv, liegt er links.

3) Lars hat die binomische Formel vergessen – er hat nur x² und 3² addiert, aber das Glied 2·3·x fehlt.
Richtig: (x + 3)² − 2 = x² + 6x + 9 − 2 = x² + 6x + 7. Probe x = 1: (1+3)²−2 = 14 und 1 + 6 + 7 = 14 ✓

Buchaufgaben: Lösungen im Buch [Seitenzahl prüfen].

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